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<!DOCTYPE html>

<title>Distribution angulaire</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Distribution angulaire</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><p>Une <b>distribution angulaire</b><sup id="cite_ref-def_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-def-1"><span class="cite-bracket">[</span>N 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> est un <a href="Champ_scalaire" title="Champ scalaire">champ scalaire</a> non-négatif défini sur la sphère unité et appartenant à l'<a href="Espace_Lp" title="Espace Lp">espace <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74656e06707b0d5ba1cd9fbe51155b561d082e23.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.663ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}" loading="lazy"></span></a>. Il définit les propriétés angulaires d'une quantité physique définie dans toute direction ou simplement un ensemble de directions.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Sphère_unité"><span id="Sph.C3.A8re_unit.C3.A9"></span>Sphère unité</h2></div>

<p>La <i><b>sphère unité</b></i> est une <a href="N-sph%C3%A8re" title="N-sphère">3-sphère</a> de rayon unitaire ou, en <a href="Topologie" title="Topologie">topologie</a>, la <a href="Vari%C3%A9t%C3%A9_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Variété (géométrie)">variété topologique</a> de dimension 2

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{2}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}\;:\;||x||=1\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdd3c951f1b648d55f88cb4124ba6440937c6dc0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.389ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle S^{2}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}\;:\;||x||=1\}}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<p>On la représente le plus souvent par un vecteur unitaire <b>Ω</b> dont la direction est donnée par les <a href="Coordonn%C3%A9es_sph%C3%A9riques" title="Coordonnées sphériques">coordonnées sphériques</a> (θ,Φ)

</p>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\begin{pmatrix}\cos \phi \sin \theta \\\sin \phi \sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}\,,\,\,0\leq \phi <2\pi \;,\;\;0\leq \theta <\pi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4dab208a832c74b5689ed3636c6a5fd0da992a53.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:45.638ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\begin{pmatrix}\cos \phi \sin \theta \\\sin \phi \sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}\,,\,\,0\leq \phi <2\pi \;,\;\;0\leq \theta <\pi }" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<p>Dans cet espace on peut définir une <a href="G%C3%A9od%C3%A9sique" title="Géodésique">distance géodésique</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Omega } ')=\arccos \,({\boldsymbol {\Omega }}\cdot {\boldsymbol {\Omega }}')}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mi>arccos</mi>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Omega } ')=\arccos \,({\boldsymbol {\Omega }}\cdot {\boldsymbol {\Omega }}')}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f747107f417df737ce7e49389329732ce738cd62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.345ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle d(\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Omega } ')=\arccos \,({\boldsymbol {\Omega }}\cdot {\boldsymbol {\Omega }}')}" loading="lazy"></span>.

</p><p>La <a href="Mesure_de_Lebesgue" title="Mesure de Lebesgue">mesure de Lebesgue</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} \Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi }">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} \Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b91bcc406969623f60248bb386ac10dc2b4ab75e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.237ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} \Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi }" loading="lazy"></span> est invariante par rotation. Sa masse vaut <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{S^{2}}\mathrm {d} \Omega =4\pi }">

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{S^{2}}\mathrm {d} \Omega =4\pi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ce83e30d05363f67f28f41ba3c614121a00b7e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:12.383ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{S^{2}}\mathrm {d} \Omega =4\pi }" loading="lazy"></span><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p><p>Une définition alternative couramment utilisée est obtenue en posant <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu =\cos {\theta }}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu =\cos {\theta }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e9c44bc48653cf1fbb8f5bcb2dcda6579a5f109.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.089ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu =\cos {\theta }}" loading="lazy"></span>. On a alors

</p>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos {\phi }\\{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin {\phi }\\\mu \end{pmatrix}}\,,\quad \mathrm {d} \Omega =\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \phi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ded9f8bb7a03da82c2d8a9b5fa704700998bc1a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:39.22ex; height:10.509ex;" alt="{\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos {\phi }\\{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin {\phi }\\\mu \end{pmatrix}}\,,\quad \mathrm {d} \Omega =\mathrm {d} \mu \,\mathrm {d} \phi }" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<p>On peut être amené à restreindre l'espace à un <a href="H%C3%A9misph%C3%A8re_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" class="mw-redirect" title="Hémisphère (géométrie)">hémisphère</a> lorsque l'on étudie une condition aux limites mathématique ou physique (par exemple les propriétés d'une surface). Certains modèles d'approximation physique utilisent les octants (1/8<sup>ème</sup> de la sphère). Enfin l'approximation numérique fait appel au découpage en N segments (δθ, δΦ) (par exemple la méthode S<sub>N</sub> en <a href="Transfert_radiatif" title="Transfert radiatif">transfert radiatif</a> ou la segmentation de données statistiques).

</p><p>On peut généraliser la théorie à une <a href="N-sph%C3%A8re" title="N-sphère">hypersphère</a><sup id="cite_ref-Atkinson_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-Atkinson-3"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Manipulations_des_distributions_angulaires">Manipulations des distributions angulaires</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cas_particuliers">Cas particuliers</h3></div>

<p>Les cas extrêmes sont

</p>

<td>- l'isotropie</td>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L({\boldsymbol {\Omega }})=L_{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21de6e43611f41a9996832a307cec7130018a7fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.059ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L({\boldsymbol {\Omega }})=L_{0}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td>- le faisceau</td>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L({\boldsymbol {\Omega }})=L_{0}\,\delta ({\boldsymbol {\Omega -\Omega }}_{0})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f021012152f76853c9a1abe3a1a80edf31af44a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.33ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L({\boldsymbol {\Omega }})=L_{0}\,\delta ({\boldsymbol {\Omega -\Omega }}_{0})}" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table></dd></dl>

<p>où L<sub>0</sub> et <b>Ω</b><sub>0</sub> sont des constantes et δ la <a href="Distribution_de_Dirac" title="Distribution de Dirac">distribution de Dirac</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Représentation"><span id="Repr.C3.A9sentation"></span>Représentation</h3></div>

<p>Le problème de la représentation d'une distribution angulaire est celui de la <a href="Projection_st%C3%A9r%C3%A9ographique" title="Projection stéréographique">projection stéréographique</a>. C'est par exemple le cas de la représentation de la <a href="Sph%C3%A8re_c%C3%A9leste" title="Sphère céleste">sphère céleste</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Approximation">Approximation</h3></div>

<p>Toute distribution angulaire se décompose en <a href="Harmoniques_sph%C3%A9riques" class="mw-redirect" title="Harmoniques sphériques">harmoniques sphériques</a> ou, dans le cas d'une distribution à symétrie de révolution, en <a href="Polyn%C3%B4mes_de_Legendre" class="mw-redirect" title="Polynômes de Legendre">polynômes de Legendre</a>. Les harmoniques sphériques sont naturelles dans ce problème puisqu'elles sont les vecteurs propres de l'<a href="Op%C3%A9rateur_de_Laplace-Beltrami" title="Opérateur de Laplace-Beltrami">opérateur de Laplace-Beltrami</a> sur la sphère unité, donc le pendant des fonctions trigonométriques pour le <a href="Laplacien" class="mw-redirect" title="Laplacien">laplacien</a> ordinaire<sup id="cite_ref-Atkinson_3-1" class="reference"><a href="#cite_note-Atkinson-3"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p><p>On peut également utiliser les <a href="Polyn%C3%B4me_de_Zernike" title="Polynôme de Zernike">polynômes de Zernike</a> ou les <a href="Ondelettes" class="mw-redirect" title="Ondelettes">ondelettes</a> sphériques, projetés sur la sphère unité. Dans les deux cas on opère une <i><b>dilatation stéréographique</b></i> (l'inverse d'une <a href="Projection_st%C3%A9r%C3%A9ographique" title="Projection stéréographique">projection stéréographique</a>), opération qui peut s'effectuer de plusieurs façons<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Moments_d'une_fonction_aléatoire"><span id="Moments_d.27une_fonction_al.C3.A9atoire"></span>Moments d'une fonction aléatoire</h3></div>

<p>Soit la fonction <a href="Fonction_al%C3%A9atoire" class="mw-redirect" title="Fonction aléatoire">fonction aléatoire</a> g(<b>Ω</b>) telle que <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{S^{2}}g({\boldsymbol {\Omega }})\,\mathrm {d} \Omega =1}">

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{S^{2}}g({\boldsymbol {\Omega }})\,\mathrm {d} \Omega =1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7cc37ba554456ea72844d482437322c2a0761e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.295ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{S^{2}}g({\boldsymbol {\Omega }})\,\mathrm {d} \Omega =1}" loading="lazy"></span>.

La direction moyenne <b>m</b> est donnée par

</p>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {m} ={\frac {\mathbf {M} }{M}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e74fdbda2461810789cdb5f8a8fc13424843c82.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:8.698ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {m} ={\frac {\mathbf {M} }{M}}}" loading="lazy"></span> avec <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {M} =\int _{S^{2}}g({\boldsymbol {\Omega }})\,{\boldsymbol {\Omega }}\,\mathrm {d} \Omega }">

</mrow>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {M} =\int _{S^{2}}g({\boldsymbol {\Omega }})\,{\boldsymbol {\Omega }}\,\mathrm {d} \Omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e27a009285657fc796b7b63bf3f4b9d0a821566f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:19.988ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {M} =\int _{S^{2}}g({\boldsymbol {\Omega }})\,{\boldsymbol {\Omega }}\,\mathrm {d} \Omega }" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<p>On généralise les <a href="Moment_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Moment (mathématiques)">moments</a> d'une distribution statistique définie dans l'espace euclidien usuel de la façon suivante

</p>

<td>écart-type</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{1}=\int _{S^{2}}g({\boldsymbol {\Omega }})\,d({\boldsymbol {\Omega }},\mathbf {m} )\,\mathrm {d} \Omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d471970beb104a6c3d0e28b6cd6f7c52ba4032a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:26.83ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle m_{1}=\int _{S^{2}}g({\boldsymbol {\Omega }})\,d({\boldsymbol {\Omega }},\mathbf {m} )\,\mathrm {d} \Omega }" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td>moment d'ordre n</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{n}=\int _{S^{2}}g({\boldsymbol {\Omega }})\,d({\boldsymbol {\Omega }},\mathbf {m} )^{n}\,\mathrm {d} \Omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbebfc0ee08cd364a12117f2a96b235fab8165ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:28.213ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle m_{n}=\int _{S^{2}}g({\boldsymbol {\Omega }})\,d({\boldsymbol {\Omega }},\mathbf {m} )^{n}\,\mathrm {d} \Omega }" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table></dd></dl></dd></dl>

<p>L'étude des distributions angulaires statistiques fait également appel à des fonctions standard adaptées à un problème donné<sup id="cite_ref-Fisher_5-1" class="reference"><a href="#cite_note-Fisher-5"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Dans ce cas on s'intéressera plutôt aux moments d'inertie de la distribution.

</p><p>Dans le cas d'une distribution à symétrie de révolution on utilise communément le <b>facteur d'asymétrie</b>

</p>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=2\pi \int _{-1}^{1}\mu g(\mu )\mathrm {d} \mu \,,\qquad \mu =\cos(\theta )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/670afc4360214165957326713101cc14c8c1171e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:36.222ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle a=2\pi \int _{-1}^{1}\mu g(\mu )\mathrm {d} \mu \,,\qquad \mu =\cos(\theta )}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Moments_tensoriels_en_physique">Moments tensoriels en physique</h3></div>

<p>Au lieu du moment d'ordre 1 ci-dessus on introduit le <a href="Tenseur" title="Tenseur">tenseur</a> suivant, calculé à partir de la distribution angulaire f(<b>Ω</b>)

</p>

</mrow>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathsf {P}}=\int _{S^{2}}f({\boldsymbol {\Omega }})\,{\boldsymbol {\Omega }}\otimes {\boldsymbol {\Omega }}\,\mathrm {d} \Omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0793f027bf94c6eadb9a2733fe5d43cc56b8302e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.87ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\mathsf {P}}=\int _{S^{2}}f({\boldsymbol {\Omega }})\,{\boldsymbol {\Omega }}\otimes {\boldsymbol {\Omega }}\,\mathrm {d} \Omega }" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \otimes }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de29098f5a34ee296a505681a0d5e875070f2aea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \otimes }" loading="lazy"></span> est l'opérateur <a href="Produit_tensoriel" title="Produit tensoriel">produit tensoriel</a>. La trace de ce tenseur est l'écart-type m<sub>1</sub> ci-dessus, moyennant une rotation du repère.

</p><p>On donne des exemples ci-dessous.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Quelques_exemples_en_physique">Quelques exemples en physique</h2></div>

<ul><li>Un domaine important est celui de la propagation de particules. La distribution angulaire concerne dans ces cas le nombre de particules traversant une surface élémentaire dS pendant le temps dt dans l'angle solide dΩ autour de la direction <b>Ω</b></li></ul>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} N=f(\mathbf {x} ,t,{\boldsymbol {\Omega }})\,v\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} S\,\mathrm {d} \Omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6476928f7580870416725129ce816f9a2a6615af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.363ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} N=f(\mathbf {x} ,t,{\boldsymbol {\Omega }})\,v\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} S\,\mathrm {d} \Omega }" loading="lazy"></span></dd></dl></dd>

<dd>où f est le nombre de particules par unité de volume et v leur vitesse.</dd>

<dd>Le vecteur correspondant à la densité de flux particulaire est donné par

</mrow>

</mrow>

<msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)=\int _{S^{2}}f(\mathbf {x} ,t,{\boldsymbol {\Omega }})\,{\boldsymbol {\Omega }}\,\mathrm {d} \Omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05ff6fe7870032995cfe2f82779deca7935bbfde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:28.708ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)=\int _{S^{2}}f(\mathbf {x} ,t,{\boldsymbol {\Omega }})\,{\boldsymbol {\Omega }}\,\mathrm {d} \Omega }" loading="lazy"></span></dd></dl></dd>

<dd>Au lieu du nombre de particules on peut s'intéresser à la quantité qu'elles transportent. Par exemple dans le cas de l'énergie on aboutit à la notion de <a href="Luminance_%C3%A9nerg%C3%A9tique" title="Luminance énergétique">luminance</a> en remplaçant f par e f où e est l'énergie transportée par chaque particule. La luminance est L = v e f et F est l'<a href="Exitance" title="Exitance">exitance</a>. Cette quantité est très utilisée pour les photons (v = c) mais s'applique également au transport de nombreuses autres particules : <a href="Neutrinos" class="mw-redirect" title="Neutrinos">neutrinos</a> en <a href="Physique_nucl%C3%A9aire" title="Physique nucléaire">physique nucléaire</a>, <a href="Neutrons" class="mw-redirect" title="Neutrons">neutrons</a> en <a href="Neutronique" title="Neutronique">neutronique</a>, <a href="%C3%89lectrons" class="mw-redirect" title="Électrons">électrons</a>, <a href="Particules_alpha" class="mw-redirect" title="Particules alpha">particules alpha</a> ou <a href="Ions" class="mw-redirect" title="Ions">ions</a> en <a href="Physique_m%C3%A9dicale" title="Physique médicale">physique médicale</a>.</dd></dl>

<ul><li>Un exemple de distribution aléatoire concernant des particules est celui de la <a href="Diffusion_%C3%A9lastique" title="Diffusion élastique">diffusion élastique</a> d'une molécule par une autre molécule. Le problème se réduit à la seule connaissance de la déviation au cours de l'interaction. Ce problème complexe se simplifie lorsque les molécules sont à symétrie sphérique : le problème est alors un problème plan, tout comme la diffusion élastique d'un <a href="Photon" title="Photon">photon</a> par une particule (<a href="Diffusion_Thomson" title="Diffusion Thomson">diffusion Thomson</a> ou <a href="Diffusion_Rayleigh" title="Diffusion Rayleigh">Rayleigh</a>).</li>

<li>Lorsque la <a href="Longueur_d'onde" title="Longueur d'onde">longueur d'onde</a> associée au photon est du même ordre de grandeur que l'obstacle avec lequel l'onde interagit on observe un <a href="Diffusion_des_ondes" title="Diffusion des ondes">phénomène de diffraction</a> caractérisé là aussi par la distribution angulaire de l'onde diffractée. Ce genre de phénomène conduit aux <a href="Diagramme_de_rayonnement" title="Diagramme de rayonnement">diagrammes de rayonnement</a> pour les ondes électromagnétiques. On observe le même phénomène lorsque l'onde est une onde sonore.</li>

<li>Le tenseur défini plus haut apparaît dans certaines méthodes de résolution du <a href="Transfert_radiatif#Approximations" title="Transfert radiatif">transfert radiatif</a> portant sur la luminance. Il s'agit du tenseur de pression radiative, analogue du <a href="Tenseur_des_contraintes" title="Tenseur des contraintes">tenseur des contraintes</a> des <a href="%C3%89quation_de_Navier-Stokes" class="mw-redirect" title="Équation de Navier-Stokes">équation de Navier-Stokes</a> que l'on peut obtenir par la <a href="M%C3%A9thode_de_Chapman-Enskog" title="Méthode de Chapman-Enskog">méthode de Chapman-Enskog</a> à partir de la fonction de distribution microscopique des vitesses <b>v</b> = v <b>Ω</b>.</li>

<li>Ce qui précède constitue le domaine d'applications le plus vaste mais il existe d'autres application de la distribution angulaire, par exemple les points de contact d'un élément d'un <a href="Mat%C3%A9riau_granulaire" title="Matériau granulaire">milieu granulaire</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes">Notes</h2></div>

<li id="cite_note-def-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-def_1-0">↑</a> </span><span class="reference-text">Le nom de distribution sphérique est parfois utilisé. Cependant cette locution est également utilisée au sens de distribution angulaire à symétrie sphérique.</span>

</li>

</ol></div>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Références"><span id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Références</h2></div>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Bakry2009"><span class="ouvrage" id="Dominique_Bakry2009">Dominique Bakry, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.univ-toulouse.fr/~bakry/Integration07.pdf"><cite style="font-style:normal;">Intégration.</cite></a> », <time>2009</time></span></span></span>

</li>

<li id="cite_note-Atkinson-3"><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Kendall_AtkinsonWeimin_Han2012"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <span class="nom_auteur">Kendall Atkinson</span> et <span class="nom_auteur">Weimin Han</span>, <cite class="italique" lang="en">Spherical Harmonics and Approximations on the Unit Sphere: an Introduction</cite>, <a href="Springer_Science%2BBusiness_Media" title="Springer Science+Business Media">Springer</a>, <time>2012</time> <small style="line-height:1em;">(<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <span class="nowrap">978-3-642-25982-1</span>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Spherical+Harmonics+and+Approximations+on+the+Unit+Sphere%3A+an+Introduction&rft.pub=Springer&rft.aulast=Kendall+Atkinson&rft.au=Weimin+Han&rft.date=2012&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ADistribution+angulaire"></span></span></span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Guilloux"><span class="ouvrage" id="Frédéric_Guilloux">Frédéric Guilloux, <cite class="italique">Analyse harmonique et estimation spectrale sur la sphère. Applications à l’étude du fond diffus cosmologique.</cite> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00347673/document">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Analyse+harmonique+et+estimation+spectrale+sur+la+sph%C3%A8re.+Applications+%C3%A0+l%E2%80%99%C3%A9tude+du+fond+diffus+cosmologique.&rft.aulast=Guilloux&rft.aufirst=Fr%C3%A9d%C3%A9ric&rft_id=https%3A%2F%2Ftel.archives-ouvertes.fr%2Ftel-00347673%2Fdocument&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ADistribution+angulaire"></span></span></span></span>

</li>

<li id="cite_note-Fisher-5"><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="N._I._FisherT._LewisB._J._J._Embleton1987"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <span class="nom_auteur">N. I. Fisher</span>, <span class="nom_auteur">T. Lewis</span> et <span class="nom_auteur">B. J. J. Embleton</span>, <cite class="italique" lang="en">Statistical Analysis of Spherical Data</cite>, <a href="Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>, <time>1987</time> <small style="line-height:1em;">(<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <span class="nowrap">0-521-24273-8</span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.be/books?id=yK4Quuq9tRgC&printsec=frontcover&hl=fr&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Statistical+Analysis+of+Spherical+Data&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.aulast=N.+I.+Fisher&rft.au=T.+Lewis&rft.au=B.+J.+J.+Embleton&rft.date=1987&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.be%2Fbooks%3Fid%3DyK4Quuq9tRgC%26printsec%3Dfrontcover%26hl%3Dfr%26source%3Dgbs_ge_summary_r%26cad%3D0%23v%3Donepage%26q%26f%3Dfalse&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ADistribution+angulaire"></span></span></span>

</li>

</ol></div>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ouvrages_de_référence"><span id="Ouvrages_de_r.C3.A9f.C3.A9rence"></span>Ouvrages de référence</h3></div>

<ul><li><span class="ouvrage" id="Willi_FreedenMichael_Schreiner1995"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <span class="nom_auteur">Willi Freeden</span> et <span class="nom_auteur">Michael Schreiner</span>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Non-Orthogonal Expansions on the Sphere</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en">Mathematical Methods in the Applied Sciences</span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 18,‎ <time>1995</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">83-120</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Non-Orthogonal+Expansions+on+the+Sphere&rft.jtitle=Mathematical+Methods+in+the+Applied+Sciences&rft.aulast=Willi+Freeden&rft.au=Michael+Schreiner&rft.date=1995&rft.volume=18&rft.pages=83-120&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ADistribution+angulaire"></span></span></li></ul>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail des mathématiques</span> </span></li> <li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail de la physique</span> </span></li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

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</main>

</div>

</body></html>